РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2813 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 2

Разные задачи

Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны $5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ и 15. Диагональ параллелепипеда образует с большей по площади боковой гранью угол $арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите значение выражения $дробь: числитель: 21, знаменатель: синус в квадрате альфа конец дроби ,$ где α  — угол между диагональю меньшей по площади боковой грани и плоскостью диагонального сечения этого параллелепипеда.

Решение. Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, причем $AB = 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$ $AD = 15,$ $AA_1 = x.$ Угол между диагональю AC₁ параллелепипеда и гранью CC₁B₁B равен углу между диагональю AC₁ и ее проекцией BC₁ на плоскость этой грани. Из условия находим:

$синус \angle AC_1B = синус левая круглая скобка арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Прямая BC₁ перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах, а потому $дробь: числитель: AB, знаменатель: AC_1 конец дроби = синус \angle AC_1B,$ откуда

$дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 15 в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби равносильно корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 175 плюс 225 плюс x в квадрате правая круглая скобка конец аргумента = 15 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента равносильно$
$равносильно 1200 плюс 3x в квадрате = 1575 равносильно 3x в квадрате = 375 равносильно x в квадрате = 125 равносильно x = 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 15 в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 175 плюс 225 плюс x в квадрате правая круглая скобка конец аргумента = 15 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента равносильно 1200 плюс 3x в квадрате = 1575 равносильно$
$равносильно 3x в квадрате = 375 равносильно x в квадрате = 125 равносильно x = 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 15 в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 175 плюс 225 плюс x в квадрате правая круглая скобка конец аргумента = 15 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента равносильно$
$равносильно 1200 плюс 3x в квадрате = 1575 равносильно 3x в квадрате = 375 равносильно$
$равносильно x в квадрате = 125 равносильно x = 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Угол α равен углу между прямой AB₁ и плоскостью BB₁D₁D, то есть углу между прямой AB₁ и ее проекцией на эту плоскость. Проведем перпендикуляр AK к прямой BD, тогда прямая B₁K перпендикулярная прямой AK по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол KB₁A  — искомый. Воспользуемся тем, что длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, а также теоремой Пифагора и получим:

$синус альфа = синус \angle KB_1A = дробь: числитель: AK, знаменатель: AB_1 конец дроби = дробь: числитель: AD умножить на AB, знаменатель: BD умножить на AB_1 конец дроби = дробь: числитель: 15 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 225 плюс 175 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 175 плюс 125 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 75 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 20 корень из: начало аргумента: 300 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 200 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$ $синус альфа = синус \angle KB_1A = дробь: числитель: AK, знаменатель: AB_1 конец дроби = дробь: числитель: AD умножить на AB, знаменатель: BD умножить на AB_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 15 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 225 плюс 175 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 175 плюс 125 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 20 корень из: начало аргумента: 300 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 75 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 200 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$

Таким образом,

$дробь: числитель: 21, знаменатель: синус в квадрате альфа конец дроби = 21 : дробь: числитель: 21, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 21 умножить на 64, знаменатель: 21 конец дроби = 64.$

Ответ: 64.

Ответ: 64

2813

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 2

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2813	64